o autorech stránek
articles in English
rozhovor nad Biblí:

Genesis
Exodus
Žalmy

Matouš
Efezským
Zjevení

české překlady Bible
komentáře k Bibli
software pro čtení Bible
základní otázky:

Existuje Bůh?
Proč křesťanství?
poselství Bible
různá témata:

společnost
film, televize
souvislosti matematiky

povídky
recenze knih

drobnosti
teologická diskuse

učit se, učit se:

biblická hebrejština
biblická řečtina
matematika
Starší články:

2016
2015
2014

nejnovější příspěvky
do diskuse:


Břeťa 2017-08-30 11:25:23 Zjevení 16: Přes léto jsem měl

Petr 2017-08-11 10:50:47 Zjevení 16: Moc děkuji za Váš č

Břeťa 2017-08-01 14:06:32 Předurčení nebo volba?: Lukáš Makovička nab

Břeťa 2017-06-12 16:20:15 Křest a Večeře Páně: Chápu důvody, proč

Petr 2017-06-09 14:00:01 Křest a Večeře Páně: Dle mého názoru kře

Vlasta 2017-05-31 11:23:10 Křest a Večeře Páně: Vážený bratře Fajmo

Libor Diviš 2017-04-25 15:23:57 Software pro čtení Bible: Naprogramoval jsem

Břeťa 2017-02-15 17:03:18 Břeťa - intro: Vracím se k výuce m




Matematika v souvislostech: úvod


Břeťa Fajmon, 21.9.2009

Toto je první článek v sérii matematika v souvislostech.

Rád bych začal myšlenkami, ke kterým mne přivedl současný prorektor VUT, pan profesor P. Jura, v jedné ze svých přednášek z vyčíslitelnosti: Představte si, že chceme přesně změřit obvod kruhového disku o průměru jednoho metru. Matematik přesně spočítá na základě integračního počtu, že obvod tohoto disku je roven přesně číslu „pí”. Ale co je to vlastně přesné číslo „pí”? Je to číslo s nekonečně dlouhým neperiodickým rozvojem. Pokud bychom chtěli toto číslo vyčíslit, natož skutečně prozkoumat a vychutnat si je, potřebovali bychom na to nekonečné možství času – až poté bychom měli jistotu, že číslo „pí” skutečně známe. Namítnete mi, že je to nesmysl, vyčíslovat „pí” na více než deset míst, a že většinou dokonce stačí i to 3,14 (nebo v nejhorším případě 3,14159265358979). Souhlasím s vámi, ale rád bych upozornil na otázku: kdy – nejen v matematice, ale obecně v životě – má člověk jistotu, že něco skutečně poznal? Na kolik míst potřebuji číslo „pí” vyčíslit, abych měl pravdu v tom, že se jedná skutečně o číslo „pí”?

Další věc a podobná otázka: představte si jednoduchou úlohu, a sice že řešíte rovnici o jedné neznámé, i když ta rovnice může být trochu kostrbatá – tu neznámou proměnnou x totiž nelze z této rovnice vyjádřit klasickým způsobem ve tvaru "x=...". Zkrátka ať děláme, co děláme, neznámou x na jednu stranu rovnice nepřevedeme, pořád se potvůrka vyskytuje na obou stranách při jakýchkoli ekvivalentních úpravách této rovnice (= takové úpravy, po jejichž provedení má rovnice jiný tvar, ale řešení rovnice je stejné). Říkáme, že neznámá z této rovnice není explicitně vyjádřitelná. Právě pro takové rovnice – které se v úlohách technické praxe kupodivu vyskytují – existují numerické metody, které se snaží najít řešení pomocí tzv iteračního procesu, což spočívá v sestavování posloupnosti čísel x1, x2, x3, atd., které se (a to bychom rádi) blíží stále více k přesnému řešení této rovnice. Tomuto tématu se věnuje celá kapitola 5 ve skriptech BMA3. Je potřeba si pamatovat, že celá posloupnost těchto podle jistých vzorců sestavovaných čísel vůbec k řešení dané rovnice směřovat nemusí – tzv. konvergence je zaručena jen při splnění jistých předpokladů.

Ale představte si nyní situaci téměř ideální, tj. řešíte rovnici, která má jediné řešení, podle jistého vzorce sestavujete posloupnost čísel, která se k tomuto řešení blíží. Konečně jsem se dostal k otázce: jak poznáte, že třeba po deseti krocích jste se přiblížili k přesnému řešení natolik blízko, že třeba desáté číslo x10 sestavované podle iteračního vzorce už můžeme se vší rozumností vzít za řešení naší rovnice? Většinou se zjednodušeně říká, že končíme náš algoritmus hledání řešení, když se např. tři desetinná místa v posloupnosti našich čísel už napevno ustálí – stačí nyní například useknout další desetinná místa v pořadí a máme řešení. Tento přístup po rozumném počtu kroků většinou „funguje” v tom smyslu, že ve většině případů jsme po ustálení tří desetinných míst našli i naše řešení s přesností na tři desetinná místa. Ale to nemusí být vždy pravdou – samotný fakt, že se tři desetinná místa v posloupnosti našich čísel už nemění, nemusí ještě znamenat, že tato tři desetinná místa jsou ve skutečném řešení přesně stejná. Může se totiž jednat o tzv. pomalou konvergenci, kdy sice máme dobrý vzorec, dobrou posloupnost čísel, ale ta se ke skutečnému řešení blíží hlemýždím tempem. Když se teď odpoutáme od pouhé matematiky, dospěli jsme k otázce podobné té z předchozího odstavce: Kdy mám jistotu, že jsem se ve svém poznání dostal tam, kam jsem se dostat chtěl? Kdy můžeme mít jistotu, že naše poznání je v rozumné míře dostačující? Někdy máme pocit, že náš pohled na svět se už ustálil a moc se nemůže změnit, ale ve skutečnosti pravdivý popis reality může ležet ještě „o kus dál”.

Druhá část mých malých zamyšlení bude už přímo výletem do epistemologie, což je filosofický obor zabývající se poznáním a poznatelností (řecké epistémé znamená poznání, znalost). Za zakladatele tohoto oboru je často považován René Descartes, který je koneckonců i otcem moderní vědy. Rád bych uvedl jednu inspiraci pro přemýšlení: podívejte se na obrázek tančící dívky (no spíš točící se dívky - doporučuji si obrázek stáhnout a otevřít v Irfanview nebo jiném programu pro obrázky, dívka se bude pak točit pomaleji, což považuji za vhodnější při testování): některým lidem se zdá, že se otáčí ve směru chodu hodinových ručiček, jiným se zdá, že proti směru. A někdo se bude na obrázek chvíli dívat a vidí, že se otáčí ve směru ručiček, a za chvíli proti směru. Je to otázka toho, že naše smysly (nyní je to zrak) nás někdy mohou klamat, respektive vyslovit protichůdné názory. Kde je pravda a jak si to vysvětlit?

Zdroje a podněty k dalšímu čtení:
  • (1) Jeremy Pierce: Knowledge and Reality Series. Kurs epistemologie na Syracuse University, USA. Poznámky jsou vytvářeny v letech 2005 až 2009.


zpět na sérii: Matematika v souvislostech


Diskuse:


Honza, přidáno 2009-09-24 11:46:41

Jak clovek pozna, ze to, co sem poznal, je mozne povazovat za poznani schopne nebo pouze klam, jez se za poznani vydava?

Břeťa, přidáno 2009-09-29 06:37:22

To je dobrá otázka. Právě ní se chci zabývat v následujících dvou částech této série.

Šimon, přidáno 2009-10-29 21:43:27

Zamýšlíš někde ve Tvém seriálu zmínit Alvina Plantingu a jeho víru oprávněně základní (beliefs that are properly basic)?

Břeťa, přidáno 2009-11-03 06:39:14

to Šimon: Na to nemám literaturu, nic jsem nečet. Uvítám, pokud můžeš něco doporučit. Nejvíc se těch věcí Alvina Plantingy dotýkám v části 2 - u toho realismu a spolehlivismu.

Vstup do diskuse:

Jméno:   

Váš email (nebude zveřejněn, slouží pouze ke kontrole hesla)

Heslo, které jste obdržel/a při registraci:

(Registrovat se / zapomněl/a jste heslo)

Váš vzkaz: